unkorreliert, nicht unabhängig < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:51 Di 10.06.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | | Sei X normalverteilt (u, [mm] o^2) [/mm] mit u = 0 und sei Y = [mm] X^2-1. [/mm] Beweisen Sie, dass X und Y unkorreliert, aber nicht unabhängig sind. |
Meine Lösung:
Cov(XY) = E(XY) - E(X)E(Y) = [mm] E(X(X^2-1)) [/mm] - [mm] E(X)E(X^2-1) [/mm] =
[mm] E(X(X^2-1)) [/mm] - [mm] 0*E(X^2-1) [/mm] = [mm] E(X(X^2-1)) [/mm] = [mm] E(X^3 [/mm] - X) = [mm] E(X^3) [/mm] - E(X) =
0 - 0 = 0 Es wurde vorher schon gezeigt, dass alle ungeraden Momente E(X^2k+1) = 0
Bei der Unabhängigkeit bin ich mir nicht so sicher, kann ich sagen:
P(X < -1 [mm] \cap [/mm] Y < 0) = 0 [mm] \not= [/mm] P(X < -1)P(Y < 0) > 0 denn man kann [mm] o^2 [/mm] so wählen, dass sowohl P(X < -1) als auch P(Y < 0) größer null sind.
Ist das ok? Danke euch!
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Hiho,
sieht soweit gut aus, einzig deine letzte Begründung
> denn man kann [mm]o^2[/mm] so wählen, dass sowohl P(X < -1) als auch P(Y < 0) größer null sind.
ist falsch. Zeige: Dein Gegenbeweis gilt für beliebige [mm] \sigma
[/mm]
Gruß,
Gono.
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