\mu-stetig - richtig so ? < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein W-Raum und sei [mm] X \in \mathcal{M^+}[/mm] mit [mm] P_X=1_{(0,1)}\lambda [/mm].
Zeigen Sie, dass [mm] P_X [/mm] [mm] \mu-stetig [/mm] ist mit Hilfe der Definition:
Ein Maß v auf [mm] \mathcal{A} [/mm] heißt [mm] \mu-stetig[/mm], wenn jede [mm] \mu-Nullmenge [/mm] auch eine v-Nullmenge ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
für die Dichte gilt:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases} [/mm]
Also sind die [mm] \mu-Nullmengen [/mm] alle Intervalle ausserhalb (0,1).
Muss ich jetzt zu f(x) die Stammfunktion bilden und überprüfen, ob auch hier ausserhalb (0,1) Nullmengen liegen, also:
[mm] F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ x, & \mbox{für } 0 < x < 1 \\ 0, & \mbox{für } x \ge 1 \end{cases} [/mm]
..was ja dann der Fall wäre..?
Danke, Susanne.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Ich komme bei dieser Aufgabe auch nicht so recht weiter.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 15.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Di 15.12.2009 | | Autor: | Turis |
Mal sehn, was sich machen lässt...
Also für eine positive messbare Funktion heißt dass durch
[mm] v(A):=\integral_{A}{fd\mu}
[/mm]
auf A definierte Maß v das Maß mit der Dichte f bzgl [mm] \mu. [/mm] Also [mm] v=f\mu.
[/mm]
Für die [mm] \mu [/mm] -Stetigkeit ist zu zeigen dass
[mm] \forall N\in [/mm] A: [mm] \mu [/mm] (N)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] v(N)=0
Meines Erachtens macht deine Aufgabenstellung so keinen Sinn, weil weder [mm] \mu [/mm] noch v beschrieben werden, daher vermute ich hier:
[mm] \mu [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
[mm] v=P_{X}
[/mm]
Also [mm] f=1_{]0,1[} [/mm] (Dichtefunktion).
Jetzt ist also zu zeigen dass jede Nullmenge auf dem Lebesgue-Maß auch eine Nullmenge auf deinem neuen Maß v ist.
Hm, ehrlich gesagt weiß ich nicht was da noch zu zeigen ist, da wenn [mm] \mu [/mm] (N)=0 so ist [mm] v(N)=\integral_{N}{fd\mu}=0... [/mm] Siehe auch Satz von Radon-Nikotyn.
Vielleicht versteh ich auch die Aufgabe falsch. Was soll denn [mm] \mu [/mm] sein?
Grüße
|
|
|
|
