Verteilungskonvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:10 So 20.12.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend alle zusammen!
Ich bearbeite gerade das Kapitel " Schwache Konvergenz & Verteilungskonvergenz " aus der Vorlesung und am Anfang wird ein Beispiel beschrieben, bei dem ich leider Verständnisschwierigkeiten habe :-(.
Eingangs steht das Problem:
[mm] X_1, ... , X_n [/mm] i.i.d mit [mm] X_i : \Omega \to \mathbb R [/mm].
(*) Berechne [mm] P ( \{ \summe_{i=1}^n X_i \in ( a_n, b_n ] \} ) [/mm] approximativ.
Beispiel :
Seien [mm] X_1, X_2, ... [/mm] i.i.d. N(0,1) - verteilt.
Dann ist
(**) [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n} } \summe_{i=1}^n X_i [/mm] N(0,1) - verteilt.
Ist denn mit [mm] \bruch{1}{ \wurzel{n} } \summe_{i=1}^n X_i [/mm] die standardisierte Zufallsvariable gemeint?
Gilt das hier nach dem zentralen Grenzwertsatz, der besagt, dass die Verteilung von (**) für [mm] n \to \infty [/mm] gegen N(0,1) konvergiert ? .
Also ist (*) berechenbar für [mm] a_n = a \wurzel{n} [/mm] und [mm] b_n = b \wurzel{n} [/mm].
Warum ist das berechenbar und warum ausgerechnet für diese [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] ? .
Untersuche (**) auf Konvergenz.
Es liegt keine stochastische Konvergenz vor. Daher benötigt man ein anderes Konzept!
Annahme: Ist das jetzt der Beweis, dass die stochastische Konvergenz nicht vorliegt, wie oben behauptet ?
[mm] \bruch{1}{ \wurzel{n} } \summe_{i=1}^n X_i \to X [/mm] P stochastisch.
[mm] 0 \leftarrow \bruch{1}{ \wurzel{2n} } \summe_{i=1}^{2n} X_i - \summe_{i=1}^n X_i [/mm]
[mm] = \underbrace {\bruch{1}{ \wurzel{2n} }\underbrace {\summe_{i=n + 1}^{2n} X_i}_{N(0,n)}}_{ N(0, \bruch{1}{2})} + \bruch{1}{ \wurzel{n}}\underbrace {( \bruch{1}{ \wurzel{2}} - 1 ) \underbrace {\summe_{i=1}^{n} X_i}_{N(0,n)} }_{N(0,( \bruch{1}{ \wurzel{2}} - 1 )^2 ) } [/mm]
Warum gilt [mm] \underbrace {\summe_{i=n + 1}^{2n} X_i}_{N(0,n)}}_{ N(0, \bruch{1}{2})} [/mm] ? Dass N(0,n) gilt und n die Summe der einzelnen Varianzen ist, ist klar, jedoch nicht genau wie bei [mm]
N(0, \bruch{1}{2}) [/mm] als Varianz [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zustande kommt ...
[mm] Q:= N(0, \bruch{1}{2}) \ast N(0,( \bruch{1}{ \wurzel{2}} - 1 )^2 ) [/mm]
Offenbar gilt: [mm] Q ( ( - \epsilon, \epsilon )^c ) > 0 [/mm]
Warum ist das > 0 ? Und warum wählt man ausgerechnet [mm] ( - \epsilon, \epsilon )^c )[/mm] ?
Fazit : Die stochastische Konvergenz ist zur Beschreibung von Limiten von Summen ungeeignet!
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 20.12.2009 | | Autor: | Turis |
Hi,
Zu deiner ersten Frage: Das sieht eindeutig nach dem ZGS aus, da der Erwartungswert ja Null ist bei N(0,1)-Verteilung. Also kommt dieser ganze Summenkram einfach aus dem Satz. Das stellt ja quasi so eine Art "Durchschnitt" dar.
Meintest du [mm] a_{n}=a*\wurzel{n} [/mm] oder [mm] =a_{\wurzel{n}} [/mm] ? Oder was sollen a und b sein?
Dieses [mm] \wurzel{n} [/mm] muss wohl irgendwas mit dem vor der Summe zu tun haben, aber ohne die Info weiß ich net weiter.
Für den Rest hab ich leider grad keine Zeit. Aber vielleicht kann ja auch noch jemand anderes helfen.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 28.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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