Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 31.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Noch einmal eine weitere Aufgabe:
[mm] f(n)=\begin{cases} x^2-2, & \mbox{für } x <-2 \\ \bruch{1}{x-3}, & \mbox{für } x \ge -2 \end{cases} [/mm] |
Und zwar habe ich für f(x) für x<-2 auf die Funktion h(x)=x und z(x)=x und w(x)= -2 zurückgeführt.
Nach Satz aus unserer Vorlesung gilt: h(x) ist stetig und z(x) ist stetig, also (hz)(x) stetig. Sei u(x):=(hz)(x). Nach Satz ist auch (u+w)(x) stetig.
Somit ist f(x) für x<-2 stetig.
Für x>-2 bin ich ähnlich vorgegangen.
Die identische Funktion a(x):=1 ist stetig.
Die Funktion b(x):=-3 ist stetig.
Die Funktion c(x):=x mit [mm] \IR \setminus [/mm] {0} ist stetig. (das muss ich vermutlich noch nachweisen)
Also ist (b+c)(x) stetig und auch (a/(b+c))(x).
Somit ist die Funktion f(x) für x>-2 stetig.
Für x=-2 habe ich die Folge [mm] a_n:=-\bruch{1}{n}-2 [/mm] betrachtet.
Es gilt: lim [mm] a_n [/mm] = 0. Weiter folgt dann [mm] (x_n [/mm] ist für alle n kleiner -2)
lim [mm] f(x_n)= [/mm] lim 2 = 2 [mm] \not= -\bruch{1}{5}=f(-2)
[/mm]
Also ist die Funktion für x=-2 unstetig.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Sa 31.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Noch einmal eine weitere Aufgabe:
> [mm]f(n)=\begin{cases} x^2-2, & \mbox{für } x <-2 \\ \bruch{1}{x-3}, & \mbox{für } x \ge -2 \end{cases}[/mm]
>
> Und zwar habe ich für f(x) für x<-2 auf die Funktion
> h(x)=x und z(x)=x und w(x)= -2 zurückgeführt.
> Nach Satz aus unserer Vorlesung gilt: h(x) ist stetig und
> z(x) ist stetig, also (hz)(x) stetig. Sei u(x):=(hz)(x).
> Nach Satz ist auch (u+w)(x) stetig.
> Somit ist f(x) für x<-2 stetig.
>
> Für x>-2 bin ich ähnlich vorgegangen.
> Die identische Funktion a(x):=1 ist stetig.
> Die Funktion b(x):=-3 ist stetig.
> Die Funktion c(x):=x mit [mm]\IR \setminus[/mm] {0} ist stetig.
> (das muss ich vermutlich noch nachweisen)
> Also ist (b+c)(x) stetig und auch (a/(b+c))(x).
> Somit ist die Funktion f(x) für x>-2 stetig.
>
> Für x=-2 habe ich die Folge [mm]a_n:=-\bruch{1}{n}-2[/mm]
> betrachtet.
> Es gilt: lim [mm]a_n[/mm] = 0.
Da hast Du Dich sicher vertippt.
lim [mm]a_n[/mm] = -2.
> Weiter folgt dann [mm](x_n[/mm] ist für alle
> n kleiner -2)
> lim [mm]f(x_n)=[/mm] lim 2 = 2 [mm]\not= -\bruch{1}{5}=f(-2)[/mm]
> Also ist
> die Funktion für x=-2 unstetig.
Korrekt
FRED
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