Selbstadjungierte Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mi 11.05.2005 | | Autor: | Sultan |
hallo leute
wie gehts euch
mir nicht so gut habe Kopfschmerzen wegen dieser aufgabe bekommen
die lautet
sei V ein unitärer Vektorraum
a) Man zeige, dass für selbstadjungierte Abbildung f, g: V [mm] \to [/mm] V die Komposition fg genau dann selbstadjungiert ist, wenn fg=gf ist.
b) Man zeige: ist für eine lineare Abbildung f: V [mm] \to [/mm] V das Skalarprodukt
< v, f(v) > reel für alle v [mm] \in [/mm] V, so ist f selbstadjungiert
ich hab zu eine idee aber ich weiss nicht wie ich es anwenden muss und ob es richtig ist undzwar
< f^# (v),w > = <v, f(w)>
ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen
danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Do 12.05.2005 | | Autor: | Hexe |
Also zur a) überleg dir genau was gegeben ist
es gilt immer [mm] f=f^{-1} [/mm] und gg=id
=> [mm] fg=(fg)^{-1} [/mm] darus soll folgen fg=gf
<= fg=gf daraus soll folgen [mm] fg=(fg)^{-1} [/mm] bzw fgfg=id
Also da muss aman ein wenig rumschieben dann geht das doch recht leicht. f oder g ranmultiplizieren ist immer ein guter Tipp
Grüße
Hexe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Do 12.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Sultan!
> sei V ein unitärer Vektorraum
> a) Man zeige, dass für selbstadjungierte Abbildung f, g: V
> [mm]\to[/mm] V die Komposition fg genau dann selbstadjungiert ist,
> wenn fg=gf ist.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
[mm] $(fg)^{ad} [/mm] = [mm] g^{ad}f^{ad} [/mm] = gf=fg$
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
$fg= [mm] ((fg)^{ad})^{ad} [/mm] = [mm] (g^{ad}f^{ad})^{ad} [/mm] = [mm] (gf)^{ad} [/mm] =gf$
> b) Man zeige: ist für eine lineare Abbildung f: V [mm]\to[/mm] V
> das Skalarprodukt
> < v, f(v) > reel für alle v [mm]\in[/mm] V, so ist f
> selbstadjungiert
Es gilt für alle $c [mm] \in [/mm] V$:
$< [mm] f^{ad}v,v [/mm] > = [mm] \overline{ < v,f^{ad}v > } [/mm] = < [mm] v,f^{ad}v [/mm] > = < fv,v >$.
Frage an dich: Wieso folgt daraus: [mm] $f=f^{ad}$?
[/mm]
Tipp: komplexe Polariation und Nicht-Entartung des Skalarprodukts!
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Do 12.05.2005 | | Autor: | Sultan |
danke für deine antwort
DANKESCHÖN
aber geht es nichts zu einfach wenn mein dozent fragen sollte wie ich da drauf gekommen bin weiss ich keine antwort
ich habe bei meinen kommunitoren andere und ähnliche ergebnisse gesehen aber keiner konnte mir erklären warum ihre ergebnisse richtig sind
ich bin jetz ein bischen verwirrt
würd mich freuen wenn du es erklären könntest wenn nicht ist nicht schlimm
trotzdem danke
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