Koeffizienten eines Produktes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei:
[mm] $\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{k\pi^{2}}) [/mm] = [mm] (1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}}) [/mm] ( [mm] 1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}})... (1-\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}})$
[/mm]
Bestimmen Sie die Koeffizienten von [mm] $x^{2}$ [/mm] im Produkt! |
Hallo,
die Lösung : [mm] $-\frac{1}{\pi^{2}}(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}})$
[/mm]
Das ist geraten... wie würde man das begründen dass das auch für das ausmultiplizerte Produkt gelten muss??? Reicht es wenn man sagt dass das aus der Gleichheit folgt ?
Danke für jegliche Hilfestellungen.
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
Moin kushkush,
> Gegeben sei:
>
> [mm]\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{k\pi^{2}}) = (1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}}) ( 1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}})... (1-\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}})[/mm]
Du meinst wohl
[mm] \prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{x^{2}}{k\red{^2}\pi^{2}})=(1-\frac{x^{2}}{\pi^{2}})( 1-\frac{x^{2}}{4\pi^{2}})\ldots (1-\frac{x^{2}}{n^{2}\pi^{2}})\red{\ldots}
[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Koeffizienten von [mm]x^{2}[/mm] im Produkt!
> Hallo,
>
>
> die Lösung : [mm]-\frac{1}{\pi^{2}}(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}})[/mm]
>
> Das ist geraten... wie würde man das begründen dass das
> auch für das ausmultiplizerte Produkt gelten muss???
Gut geraten.
Das ist ein typischer Fall für eine Induktion. Betrachte das Produkt nur bis n.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:10 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> Induktion
Ok!
> LG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
|
