Ist Folge Cauchyfolge? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo :)!
Wenn ich zeige, dass es eine Folge eine Cauchyfolge ist, somit ist sie dann konvergent.
Die Formel dazu |an-am| < [mm] \varepsilon [/mm] verstehe ich rein theoretisch. Also ab einem gewissen Glied verdichten sich die Folgeglieder und liegen eng beieinander.
Ich schaffe es jedoch überhaupt nicht, das auf ein konkretes Beispiel anzuwenden.
Beispiel: Ist das Cauchyfolge?:
(2n+10)/n
Kann ich das jetzt einfach so in die Formel einsetzen? Also.
[mm] \bruch{(2n+10)}{n}-\bruch{(2m+10)}{m}<\varepsilon
[/mm]
Aber wie verfahre ich da jetzt weiter? Was setze ich für Epsilon ein?
Ich würde mich sehr über genaue Hinweise freuen! ich habe schon sämtliche forenbeiträge zu dem Thema gelesen, aber nichts hat mir auf die Sptrünge geholfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo pepsihaus und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Hallo :)!
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> Wenn ich zeige, dass es eine Folge eine Cauchyfolge ist,
> somit ist sie dann konvergent.
>
> Die Formel dazu |an-am| < [mm]\varepsilon[/mm]
Naja, Formel? Da steht bloß eine Ungleichung ...
> verstehe ich rein
> theoretisch. Also ab einem gewissen Glied verdichten sich
> die Folgeglieder und liegen eng beieinander.
>
> Ich schaffe es jedoch überhaupt nicht, das auf ein
> konkretes Beispiel anzuwenden.
>
> Beispiel: Ist das Cauchyfolge?:
> (2n+10)/n
>
> Kann ich das jetzt einfach so in die Formel einsetzen?
> Also.
>
> [mm]\bruch{(2n+10)}{n}-\bruch{(2m+10)}{m}<\varepsilon[/mm]
>
> Aber wie verfahre ich da jetzt weiter? Was setze ich für
> Epsilon ein?
Für [mm]\varepsilon[/mm] setzt du nichts ein, das ist beliebig vorgegeben.
Du musst ein [mm]n_0\in\IN[/mm] angeben, so dass für [mm]n,m>n_0[/mm] der Betrag [mm]|a_n-a_m|[/mm] kleiner als dein bel. vorgegebenes [mm]\varepsilon[/mm] ist.
Schätze dazu den Betrag [mm]\left|\frac{2n+10}{n}-\frac{2m+10}{m}\right|[/mm] ab.
Dazu mache erstmal gleichnamig, dann vereinfacht sich der Ausdruck schön zu [mm]10\cdot{}\left|\frac{n+m}{nm}\right|[/mm]
Dann denke an die [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung und nimm o.E. an, dass etwa [mm]m\ge n[/mm]
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> Ich würde mich sehr über genaue Hinweise freuen! ich habe
> schon sämtliche forenbeiträge zu dem Thema gelesen, aber
> nichts hat mir auf die Sptrünge geholfen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
schachuzipus
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Also die Dreieicksgleichung lautet ja |x-y| < |x| + |y|
10 * [mm] |\bruch{n+m}{nm}| [/mm] < [mm] \bruch{4mn+10m+10n}{nm}
[/mm]
Und dann bringe ich die Nenner auf beiden Seite weg, da gleich:
10*(n+m)<4mn+10m+10n
Dann 10m+10n wegbringen
0<4mn
Steckt da vielleicht irgendetwas Richtiges dahinter??? Ich denke nicht *lach*
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Hallo nochmal,
> Also die Dreieicksgleichung lautet ja |x-y| < |x| + |y|
?? ich meinte [mm] $|x\red{+}y|\le [/mm] |x|+|y|$
Damit kannst du den Zähler abschätzen:
[mm] $10\cdot{}\frac{|m+n|}{|mn|}\le 10\cdot{}\frac{|m|+|n|}{|mn|}$
[/mm]
Nun nutze o.E. zB. [mm] $m\le [/mm] n$
Die Dreiecksungleichung brauchst du eigentlich gar nicht, da mit [mm] $m,n\in\IN$ [/mm] auch $m+n$ und $mn$ nat. Zahlen sind.
Also [mm] $10\cdot{}\left|\frac{m+n}{mn}\right|=10\cdot{}\frac{m+n}{mn}$
[/mm]
Dann reicht es aus, dass du o.E. [mm] $m\le [/mm] n$ (zB.) annimmst, dann kannst du das schnell weiter abschätzen, das $n$ wird sich rauskürzen und den Rest kannst du nach $m$ auflösen und so dein gesuchtes [mm] $n_0$ [/mm] konstruieren.
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> 10 * [mm]|\bruch{n+m}{nm}|[/mm] < [mm]\bruch{4mn+10m+10n}{nm}[/mm]
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> Und dann bringe ich die Nenner auf beiden Seite weg, da
> gleich:
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> 10*(n+m)<4mn+10m+10n
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> Dann 10m+10n wegbringen
>
> 0<4mn
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> Steckt da vielleicht irgendetwas Richtiges dahinter??? Ich
> denke nicht *lach*
Gruß
schachuzipus
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