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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Do 07.07.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Löse gerade aus Spaß nen Integral, aber aus dem Spaß wird Verzweiflung
Ich hab das Integral:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x}{(x+1)^2} dx}
[/mm]
Die richtige Lösung ist, die ich auch bekomme hab, ist log|x+1|+ [mm] \bruch{1}{x+1}. [/mm] Diese Ergebnis hab ich mit Partialbruchzerlegung bekommen!
Jetzt dachte ich, lösen wir das mal mit partieller Ingegration, aber ich komm immer auf ein anderes Ergebnis:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x}{(x+1)^2} dx}
[/mm]
Wenn nun f=x und [mm] g'=\bruch{1}{(x+1)^2}
[/mm]
Dann ist doch [mm] g=\bruch{-1}{(x+1)} [/mm] und f'=1
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x}{(x+1)^2} dx}= \bruch{-x}{(x+1)}-\integral_{}^{} {1*\bruch{-1}{(x+1)} dx}=\bruch{-x}{(x+1)}+\integral_{}^{} {1*\bruch{1}{(x+1)} dx}=\bruch{-x}{(x+1)}+log|x+1|
[/mm]
Wo ist hier mein dummer Fehler ? *grr*
Ich verzweifle an dem Teil, habs jetzt schon sooo oft gerechnet, wahrscheinlich mach ich immer den gleichen Fehler, daher brauch ich fremde Unterstützung !
Gruß
Faenôl
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Hallo Faenôl !
Dein Fehler ist einer der klassischen beim Umgang mit unbestimmten Integralen.
Du unterschlägst nämlich jeweils die Integrationskonstante $+ \ C$ !!
Und bei den unterschiedlichen Methoden zur Bildung dieses Integrales ergeben sich nämlich verschiedene Konstanten.
Vielleicht wird das deutlicher durch folgende Umformung:
[mm] $\bruch{-x}{x+1} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{x\blue{+1-1}}{x+1} [/mm] \ = \ - [mm] \left(\bruch{x+1}{x+1} - \bruch{1}{x+1}\right) [/mm] \ = \ - [mm] \left(1 - \bruch{1}{x+1}\right) [/mm] \ = \ - 1 + [mm] \bruch{1}{x+1}$
[/mm]
Und damit hättest Du nun auch Dein Ergebnis aus der PBZ-Lösung, nur mit der Differenz einer Konstanten: -1 !!
Und, ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Ich hoffe, nun hast Du auch wieder Spaß  ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 07.07.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Oh ja ! Was für ein dummer Fehler !Licht blickt durch die dunken Wolken hindurch !
Jetzt ist es mir klar und es macht auch wieder Spaß!
Danke !
Faenôl
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