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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k+1)=n*(n+2) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallihallo,
Hänge bei einer Aufgabe zur vollständigen Induktion. Musste mir das leider selber beibringen, da wir es in der Schule nie gemacht haben und bin dementsprechend noch ziemlich unsicher. Hier also zur Aufgabe
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1)=n*(n+2)
Der Induktionsanfang mit 1 ergibt 3=3 also ist vollständige Induktion möglich.
Dann nehme ich die Gleichung für ein beliebiges n als richtig an und forme nach k um:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k= [mm] \bruch{n^2}{2}+n- \bruch{1}{2}
[/mm]
Dann machen wir den Induktionsschritt also statt n n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k=\summe_{k=1}^{n} [/mm] k+(n+1)
Jetzt setze ich für k mein Ergebnis von oben ein und erhalte:
[mm] \bruch{n^2}{2}+n- \bruch{1}{2}+(n+1)
[/mm]
Das aufgelöst ergibt:
[mm] \bruch{n^2}{2}+2n+\bruch{1}{2}
[/mm]
Das hat ja aber nichts mit der Ausgangsgleichung zu tun oder? Bin wie schon gesagt da noch sehr unsicher und würde gerne wissen wo mein Fehler liegt. Danke im Vorraus für Hilfe
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> [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k+1)=n*(n+2)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallihallo,
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> Hänge bei einer Aufgabe zur vollständigen Induktion.
> Musste mir das leider selber beibringen, da wir es in der
> Schule nie gemacht haben und bin dementsprechend noch
> ziemlich unsicher. Hier also zur Aufgabe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (2k+1)=n*(n+2)
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> Der Induktionsanfang mit 1 ergibt 3=3 also ist
> vollständige Induktion möglich.
Das hat damit gar nichts zu tun. Nur weil du für eine bestimmte Zahl die Behauptung überprüft hast, heißt das noch lange nicht, dass eine Beweisführung mit Indutkion zielführend ist ;)
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> Dann nehme ich die Gleichung für ein beliebiges n als
> richtig an und forme nach k um:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k= [mm]\bruch{n^2}{2}+n- \bruch{1}{2}[/mm]
what? Woher hast du das denn? Das ist doch murks! Zudem geht das überhaupt nicht! Ist dir schonmal aufgefallen, dass du auf der linken Seite ein Summenzeichen hast?! Um Gottes Willen! Induktion geht ganz anders, du brauchst nichts umformen!
>
> Dann machen wir den Induktionsschritt also statt n n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k=\summe_{k=1}^{n}[/mm] k+(n+1)
>
> Jetzt setze ich für k mein Ergebnis von oben ein und
> erhalte:
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> [mm]\bruch{n^2}{2}+n- \bruch{1}{2}+(n+1)[/mm]
>
> Das aufgelöst ergibt:
>
> [mm]\bruch{n^2}{2}+2n+\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Das hat ja aber nichts mit der Ausgangsgleichung zu tun
> oder? Bin wie schon gesagt da noch sehr unsicher und
> würde gerne wissen wo mein Fehler liegt. Danke im Vorraus
> für Hilfe
>
Den Rest ignoriere ich mal getrost und poste dir den anfang.
Du hast durch das Einsetzen von 1 gezeigt, dass für ein beliebiges n [mm] \in \IN [/mm] die Behauptung stimmt. Das war der Induktionsanfang. Jetzt machst du den sog. Induktionsschritt und zeigst, dass neben deinem beliebigen n (hier n=1) auch n+1 der Behauptung genügt, wodurch der Dominoeffekt zustande kommt. Damit müssen wir zeigen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (2k+1)=(n+1)*(n+1+2) $
Frage ist jetzt immer: Wie formen wir diese Behauptung für n+1 in etwas um, das wir bereits aus der Behauptung von n wissen? Denn wir setzten als als Voraussetzung, dass die Behauptung:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1)=n*(n+2) $
stimmt. Demzufolge machen wir jetzt:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (2k+1)= [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1) +2*(n+1)+1$
Was haben wir gemacht? Nun wir haben die Summe auseinandergezogen, nämlich von k=1 bis n und den letzten Summanden n+1. Warum? Weil wir für k=1 bis n das Ergebnis vom Induktionsanfang kennen. Ich habe also die Summe für k=1 bis n erstmal stehen gelassen und den letzten Summanden ausgeschrieben, denn der geht ja von n+1 bis n+1, ist also nur ein Term und n+1 kann man ja schnell in (2k+1) einsetzen für k=n+1. Soweit klar? Jetzt kannst du den Beweis selbst zuende führen. Was für
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1)$ rauskommt, weißt du aus der Behauptung aus dem Induktionsschritt und kannst es einsetzten. Dazu kommt der letzte Term, den ich dir mit $2*(n+1)+1$ schon angegeben habe. Das zusammen muss ja nun die rechte Seite der ersten Gleichung aus dem Induktionsschritt gleichen, damit der Beweis aufgeht, also rauskommen soll:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1) [mm] +2\cdot{}(n+1)+1=(n+1)\cdot(n+1+2) [/mm] $
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