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Hallo,
kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?
Die Folge [mm] (a_{n})_{ n \ge 1} [/mm] sei gegeben durch [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \alpha \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] und
[mm] a_{n + 1} [/mm] = (1 + [mm] a_{n}^2) [/mm] / 2 , n [mm] \in \IN
[/mm]
Für welche [mm] \alpha [/mm] konvergiert die Folge [mm] (a_{n})?
[/mm]
Bestimmen Sie für diese [mm] \alpha [/mm] den jeweiligen Grenzwert.
HIIIIIIIIIIIIIlllFE!!!!!!!!!!!!!
Für tipps schon mal danke im voraus
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Hallo, peitsche84
Du wirst sicher erkennen, daß sie für [mm] $\alpha [/mm] > 1$ divergiert
( für [mm] $a_n [/mm] = 1+x > 1 $ also auch [mm] $\alpha [/mm] = 1 + x > 1$
ist [mm] $a_{n+1}= [/mm] 1 + x + [mm] x^2/2$ [/mm] es komm also immer wieder
mehr als [mm] $x^2/2$ [/mm] hinzu
)
wenn eine Folge [mm] $a_{n+1}=f(a_n)$ [/mm] einen Grenzwert $g$ hat
dann muß für diesen gelten $ g = f(g) $ hier also g=1
und es läßt sich leicht zeigen daß für $0 < [mm] a_n \le [/mm] 1$
also mit $x > [mm] 1,\,\,a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] immer $0 < [mm] a_n [/mm] < [mm] a_{n+1} [/mm] < 1$
gilt
also Konvergenz gegen 1.
Die Rechnungen im Detail schaffst Du doch selbst?
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