Bernsteinpolynome < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Die sogenannten Bernsteinpolynome vom Grad n sind definiert als [mm] p_j(x):=[/mm] [mm]\vektor{n \\
k}x^k(1-x)^{n-k}[/mm].
Geben Sie für das Polynom [mm]P(x):=\summe_{k=1}^{n-1} p_j(x)[/mm] einen einfachen Formelausdruck an. |
Hallo :)
Habe mir dieses Bsp. mal allgemein angesehen.
Für die allgemeiner Formel der Bernsteinpolynome [mm] P(x):=\summe_{k=0}^{n} p_j(x) [/mm] gilt ja: [mm] P(x):=\summe_{k=0}^{n} p_j(x)=1.
[/mm]
Hergeleitet habe ich mir das ganze mittels des Binomischen Lehrsatzes.
Nun habe ich mein spezielles Beispiel angesehen:
[mm]P(x):=\summe_{k=1}^{n-1} p_j(x)=\summe_{k=1}^{n-1}\vektor{n \\
k}x^k(1-x)^{n-k}=\summe_{k=0}^{n-2}\vektor{n \\
k}x^{k+1}(1-x)^{n-k-1}[/mm]
und genau hier weiß ich leider nicht weiter :(
Werte für n und k einsetzten um eine Formel zu erraten funktioniert ja hier noch nicht.
Würde mich freuen wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich zu meinem Ergebnis komme :)
Liebe Grüße, Meely
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> Die sogenannten Bernsteinpolynome vom Grad n sind definiert
> als [mm]p_j(x):=[/mm] [mm]\vektor{n \\
k}x^k(1-x)^{n-k}[/mm].
>
> Geben Sie für das Polynom [mm]P(x):=\summe_{k=1}^{n-1} p_j(x)[/mm]
> einen einfachen Formelausdruck an.
>
> Hallo :)
>
> Habe mir dieses Bsp. mal allgemein angesehen.
>
> Für die allgemeiner Formel der Bernsteinpolynome
> [mm]P(x):=\summe_{k=0}^{n} p_j(x)[/mm] gilt ja:
> [mm]P(x):=\summe_{k=0}^{n} p_j(x)=1.[/mm]
>
>
> Hergeleitet habe ich mir das ganze mittels des Binomischen
> Lehrsatzes.
Und genau das ist der richtige Ansatz. Jetzt musst du nur noch schauen, wie sich [mm] \summe_{k=1}^{n-1} p_j(x) [/mm] von [mm] \summe_{k=0}^{n} p_j(x)=1 [/mm] unterscheidet.
>
> Nun habe ich mein spezielles Beispiel angesehen:
>
> [mm]P(x):=\summe_{k=1}^{n-1} p_j(x)=\summe_{k=1}^{n-1}\vektor{n \\
k}x^k(1-x)^{n-k}=\summe_{k=0}^{n-2}\vektor{n \\
k}x^{k+1}(1-x)^{n-k-1}[/mm]
>
> und genau hier weiß ich leider nicht weiter :(
> Werte für n und k einsetzten um eine Formel zu erraten
> funktioniert ja hier noch nicht.
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> Würde mich freuen wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte, wie ich zu meinem Ergebnis komme :)
>
> Liebe Grüße, Meely
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 02.03.2012 | | Autor: | meely |
Hallo donquijote und danke für deine Antwort,
> > Die sogenannten Bernsteinpolynome vom Grad n sind definiert
> > als [mm]p_j(x):=[/mm] [mm]\vektor{n \\
k}x^k(1-x)^{n-k}[/mm].
> >
> > Geben Sie für das Polynom [mm]P(x):=\summe_{k=1}^{n-1} p_j(x)[/mm]
> > einen einfachen Formelausdruck an.
> >
> > Hallo :)
> >
> > Habe mir dieses Bsp. mal allgemein angesehen.
> >
> > Für die allgemeiner Formel der Bernsteinpolynome
> > [mm]P(x):=\summe_{k=0}^{n} p_j(x)[/mm] gilt ja:
> > [mm]P(x):=\summe_{k=0}^{n} p_j(x)=1.[/mm]
> >
> >
> > Hergeleitet habe ich mir das ganze mittels des Binomischen
> > Lehrsatzes.
>
> Und genau das ist der richtige Ansatz. Jetzt musst du nur
> noch schauen, wie sich [mm]\summe_{k=1}^{n-1} p_j(x)[/mm] von
> [mm]\summe_{k=0}^{n} p_j(x)=1[/mm] unterscheidet.
>
Ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das jetzt richtig verstanden habe.
Wenn ich die Beiden mal gleich setzte muss doch gelten:
[mm]
\summe_{k=0}^{n} p_k(x)=\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)+p_0(x)+p_n(x)[/mm]
also ist dann doch:
[mm]
\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)=\summe_{k=0}^{n} p_k(x)-p_0(x)-p_n(x)[/mm]
[mm]
\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)=1-(1-x)^{n}-nx^n[/mm]
Irgendwie hab ich allerdings das Gefühl das ich einen Fehler gemacht habe :(
Liebe Grüße Meely
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> Wenn ich die Beiden mal gleich setzte muss doch gelten:
> [mm]
\summe_{k=0}^{n} p_k(x)=\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)+p_0(x)+p_n(x)[/mm]
>
> also ist dann doch:
>
> [mm]
\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)=\summe_{k=0}^{n} p_k(x)-p_0(x)-p_n(x)[/mm]
>
> [mm]
\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)=1-(1-x)^{n}-nx^n[/mm]
>
> Irgendwie hab ich allerdings das Gefühl das ich einen
> Fehler gemacht habe :(
Ein Fehler ist noch in deiner Rechnung, aber nur ein kleiner: [mm] p_n(x)=x^n [/mm] ohne den Faktor n.
Ansonsten stimmt die Lösung.
>
> Liebe Grüße Meely
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Sa 03.03.2012 | | Autor: | meely |
Hallo nochmal :)
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)=1-(1-x)^{n}-nx^n[/mm]
> >
> > Irgendwie hab ich allerdings das Gefühl das ich einen
> > Fehler gemacht habe :(
>
> Ein Fehler ist noch in deiner Rechnung, aber nur ein
> kleiner: [mm]p_n(x)=x^n[/mm] ohne den Faktor n.
> Ansonsten stimmt die Lösung.
Danke für deine Antwort :)
dann wäre also:
[mm]\summe_{k=1}^{n-1} p_k(x)=1-(1-x)^{n}-x^n[/mm]
interessanterweise sagt Wolframalpha allerdings dass das nicht stimmt.
Danke nochmal und liebe Grüße, Meely
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